1万体のエージェントによるOpenAIのナビエ–ストークス証明、注釈つきの到達

9月8日朝、OpenAIの数学者らは、およそ1万体の自律エージェントが3次元ナビエ–ストークス方程式に特異点を見つけたと発表した。研究者が方向づけを行い、外部には公開されていない社内モデル上で動かした成果である。だが12時間と経たないうちに、数学界の議論は流体力学そのものよりも、功績が誰に帰属するのかへと移っていった。

要点

• OpenAIによれば、約1万体のエージェントが88時間にわたり500万件近いメッセージをやり取りしてブローアップの証明を導き、別のモデルがさらに17時間かけてそれをLeanで形式化した。
• 同社は100万ドルのクレイ賞を請求しない。証明の構成が、公式のミレニアム問題の定式化では認められていない外力項に依存しているためだ。
• 12時間前に関連する成果を公表したニューヨーク大学のトリスタン・バックマスター氏は、AnthropicのレベントAlpoge氏との研究をOpenAI側が参照して利益を得た可能性を示唆したが、OpenAIのセバスチャン・ブベック氏はこれを否定している。

エージェントが実際に証明したもの

19世紀半ばに書き下されたナビエ–ストークス方程式は、ニュートンの第二法則を流体に適用したものだ。クレイ数学研究所が2000年に100万ドルの賞金を懸けた未解決問題は、その解が常に行儀よく振る舞い続けるのか、それともごく微小な流体の塊が無限の速さで動き始めうるのかを問うている。後者が特異点であり、この分野ではブローアップと略される。

OpenAIの答えは、ブローアップは起こる、というものだ。同社の技術記事によれば、まず摩擦のない流体を記述するオイラー方程式に約100体のエージェントを向け、およそ50時間で正則性の反証を得た。続いてナビエ–ストークスに向けて規模を約1万体へ引き上げた。これらのエージェントは88時間稼働し、500万件近いメッセージを交わした。さらに別のモデルが17時間を費やして議論をLeanへ移した。Leanは論理の各ステップを機械に検証させる証明支援系である。ブベック氏は計算コストを数百万ドル規模としている。

今回の発表を「モデルが数学を解いた」という類の主張と分けているのは、形式検証の存在だ。Leanは議論がもっともらしく聞こえるかどうかには関心を持たない。ただし、Leanにも検証できないことが一つある。入力された命題が数学者の関心の対象である命題と同じかどうかだ。注釈が付くのは、まさにその一点である。OpenAIの構成は流体を外から押す外力項を導入している。賞金の対象となる版が問うのは、流体が自律的にどう振る舞うかだ。賞金を申請しないという判断は、自社の主張が公式基準にどこまで届くかについて同社自身が下した、最も明快な評価と言える。

功績争いが起きた理由

OpenAIの公表より12時間前、ニューヨーク大学のバックマスター氏は、現在Anthropicに在籍するAlpoge氏と複数のモデルを組み合わせて密接に関連する複数の問題を解決したとする声明を出した。二人は8月22日の時点でLeanによる検証済みのオイラー証明を得ており、より丁寧な論文を準備する計画だったが、進捗の噂がOpenAIに届いたことで公表を前倒しした。バックマスター氏は拙速の代償を率直に語り、公開した3本の論文のうち1本を出来の悪いものだと述べて謝罪した。

OpenAIは3次元オイラーの結果についてはバックマスター氏とAlpoge氏の先取権を認める一方、ナビエ–ストークスは自社の成果だと主張する。そもそもこの問題に取り組んだきっかけが二人の進捗に関する噂であったことも認めている。バックマスター氏の声明はさらに踏み込み、OpenAIの研究者あるいはそのエージェントが、二人がOpenAI自身のモデルを用いて行った作業を目にし、そこから利益を得た可能性をほのめかす。ブベック氏は、社内モデルは異なる道筋で独自にオイラーの結果へ到達したとしてこの見方を退けた。公開時点で、当事者たちは同じ一週間について実質的に異なる物語を語っている。

手法を築いた人々

両チームとも、マドリードの数理科学研究所のディエゴ・コルドバ氏と、CUNEF大学のルイス・マルティネス＝ソロア氏の仕事の上に立っている。マルティネス＝ソロア氏は2021年の学位論文で、コンピュータを一切使わない解析的手法を練り上げた。2013年のトーマス・ハウ氏とグオ・ルオ氏によるシリンダーの結果以来、計算機による誤差制御に頼ってきた分野では流行から外れた選択だった。2023年までに二人は、扱いにくい外力関数を伴うオイラー方程式が特異点を許すことを、特異点を持たない解を無限に積み重ねるカスケードによって示した。残された関門はそのカスケードから滑らかな外力関数を得ることであり、二つのAIチームが越えたとみられるのがこの段階である。

Quanta Magazineの報道によれば、クレイの公式問題記述を執筆したプリンストン大学のチャールズ・フェファーマン氏は、コルドバ氏とマルティネス＝ソロア氏をこの物語の主役だと評した。バックマスター氏はマルティネス＝ソロア氏がフィールズ賞に値すると公に述べている。当のコルドバ氏がAIブームについて語る言葉は、もっと素っ気ない。自分はAIを使わない、なぜならルイスがいるからだ、と冗談めかす。

AI支援数学にとっての意味

先取権争いを取り除くと、構造的な主張が一つ残る。何日も稼働するAIエージェントの群れを形式証明系で検証する組み合わせが、研究水準の数学において実用的な道具になったということだ。これは大規模言語モデルが競技数学の問題に答えるのとは性質の異なる話であり、OpenAIが以前に行った1200体のエージェント実験で示されたマルチエージェントのスケーリング様式と重なる。残された問いは、技術と同じくらい社会的なものになっている。研究所が噂一つに計算資源を振り向けられる時代に先取権をどう定めるのか、そして探索を可能にした手法の担い手へ功績がどう還るのか、である。

FAQ

OpenAIはミレニアム賞を受賞したのですか？

いいえ。OpenAIは賞金を請求しないと表明しています。今回の証明は方程式に外力項を加えた形ですが、クレイ数学研究所の公式な定式化は外力のない場合を対象としており、明文化された受賞基準を満たしません。

証明は検証されたのですか？

議論はLeanで形式的に検証され、示された定理がその前提から導かれることについては高い確度が得られています。ただし、形式化された命題がブローアップの主張と数学的に等価かどうかは依然として人間が確認する必要があり、その検討は現在も進行中です。

ルイス・マルティネス＝ソロアとは誰ですか？

マドリードのCUNEF大学に所属する数学者です。指導教員だったディエゴ・コルドバ氏とともに、両AIチームが土台とした無限カスケードの手法を開発しました。バックマスター氏は、この仕事はフィールズ賞に値すると公に主張しています。