31년 난제 KLS 추측, AI와 함께 풀렸다…MS 연구진 증명

마이크로소프트 리서치(MSR)의 장신즈(Xinzhi Zhang) 선임연구원과 독립 연구자 쑹자오(Zhao Song)가 1995년 제기된 고차원 기하학 난제 'KLS 추측'을 AI 도구와 함께 증명했다고 10월 21일(현지시간) 공식 블로그에서 밝혔다. 같은 시기 수학자 그룹이 이들의 핵심 아이디어를 바탕으로 별도의 완전한 증명을 내놓으면서 31년 묵은 문제가 사실상 해결 국면에 들어섰다.

핵심 정리

• 장신즈·쑹자오는 arXiv 논문 2610.01447에서 KLS 상수가 차원과 무관한 보편 상수로 묶인다는 것을 증명했다.
• 연구진은 에이전트형 AI로 100개가 넘는 접근법을 탐색했지만, 방향 설정과 최종 검증은 사람이 맡았다고 밝혔다.
• Bizeul·Klartag·Lehec의 별도 증명(arXiv 2610.05474)은 감사의 글에서 증명 대부분을 ChatGPT가 찾았다고 적었다.

KLS 추측이란 무엇이고 무엇이 증명됐나

KLS 추측은 고차원 볼록 분포를 둘로 나눌 때 평평한 초평면 절단이 어떤 모양의 절단과 비교해도 차원과 무관한 상수 배 이내로 효율적이라는 명제다. 1995년 Kannan·Lovász·Simonovits가 제기했고, 무작위 보행이 분포를 얼마나 빨리 탐색하는지와 연결돼 고차원 샘플링 이론의 중심 문제로 꼽혀 왔다. 장신즈·쑹자오의 논문 'An O(1) Bound for the KLS Constant'는 모든 등방성 로그 오목 확률측도의 푸앵카레 상수가 보편 상수 이하임을 보였고, 이로써 KLS 상수도 차원에 관계없이 상수로 묶인다. 논문에 따르면 직전 최선 결과는 차원 n이 커질수록 (log n)의 1/4제곱 수준으로 천천히 커지는 상한이었다.

AI는 증명에서 어떤 역할을 했나

마이크로소프트 리서치 블로그에 따르면 연구진은 사람이 이끄는 구조화된 과정 안에서 AI 에이전트를 썼다. AI는 후보 접근법 탐색, 고차 텐서를 포함한 긴 유도 계산, 원고 작성, 내부 증명 점검을 맡았다. 연구진은 수학적 방향을 정하고, 라운드마다 가망 없는 경로를 쳐내고, 유망한 결과를 골라 최종 논증을 조립하고 검증했다. 핵심 돌파 전까지 약 100개의 연구 경로를 살폈다고 한다.

블로그는 대조 실험 결과도 공개했다. 사람의 안내 없이 여러 주요 AI 모델에 비슷한 토큰 예산을 주고 시도하게 했을 때는 증명에 이르지 못했다. 다만 어떤 모델을 썼는지는 밝히지 않았다.

증명은 어떻게 완성되고 검증됐나

연구진은 10월 1일판에서 차원 의존성을 반복 로그 수준까지 줄였고, 10월 4일판에서 재귀적 개선을 반복해도 오차 누적이 보편 상수 안에 머문다는 것을 보여 증명을 마쳤다. 같은 날 Pierre Bizeul·Boaz Klartag·Joseph Lehec는 별도 논문에서 Song·Zhang의 기준을 핵심 단계로 삼은 완전한 증명을 공개했다. 이 논문은 감사의 글에서 '서스펜션' 아이디어를 제외한 증명과 아이디어 대부분을 OpenAI의 ChatGPT가 찾았고, 저자들은 주로 검증과 서술 개선을 맡았다고 적었다. 마이크로소프트는 관련 아이디어에 기댄 세 번째 증명(arXiv 2610.07728)과 Lean 4 형식화 저장소도 공개됐다고 소개했다.

수학계와 AI 연구에 남기는 의미

KLS 추측을 전제로 쓰였던 통계·최적화·알고리즘 분야 결과들은 이제 조건 없이 서술할 수 있게 된다는 것이 마이크로소프트의 설명이다. 동시에 두 증명 모두 AI가 계산과 탐색의 상당 부분을 맡았다는 점에서, 앞서 구글 에이전트 군집이 연구급 수학 증명에서 거둔 성과와 함께 수학 연구 방식의 변화를 보여 주는 사례로 꼽힌다. 다만 세 논문은 arXiv에 먼저 공개된 사전 논문으로, 학술지 동료 심사 결과는 아직 나오지 않았다. 연구진은 증명을 간결하게 다듬은 판본을 Lean으로 검증했으며, 최종 검토 뒤 함께 공개할 계획이다.

자주 묻는 질문

KLS 추측은 누가 언제 제기했나?

Ravi Kannan, László Lovász, Miklós Simonovits가 1995년 제기했다. 고차원 볼록 분포에서 평평한 절단이 최적 절단에 비해 차원과 무관한 상수 배 이내로 좋다는 내용이다.

KLS 추측은 AI가 혼자 풀었나?

아니다. 마이크로소프트 연구진은 AI가 탐색과 계산을 돕고 방향 설정·검증은 사람이 했다고 밝혔다. 안내 없이 AI 모델만으로 시도한 실험은 성공하지 못했다.

증명은 검증이 끝났나?

독립적인 증명 2건과 Lean 4 형식화가 나와 신뢰도는 높아졌다. 다만 arXiv 사전 논문 단계라 학술지 동료 심사 결과는 아직 나오지 않았다.